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dimanche 29 janvier 2017

Les maths selon Maïa # 4

Si vous prenez l'aventure en cours de route, le début de cette série d'articles se trouve ICI.

Au programme aujourd'hui : les nombres premiers et les entiers relatifs ! 😊

Je laisse la plume à Maïa dans le présent article - que j'entrecoupe néanmoins de liens et de remarques personnelles... 😊

Les nombres premiers :

"Lou a ramassé des cailloux, et me demande de lui concocter une activité à partir de ses trouvailles. Je lui propose donc de diviser son butin en paquets égaux de plus d'un élément : il faut que les collections de cailloux obtenues contiennent le moins d'éléments possible.

Lou prend d'abord 6 cailloux, qui lui permettent de faire trois collections de 2 éléments. Les tas de 2 n'étant pas divisibles au-delà, j'introduis la notion de nombre premier

Par chance, Lou choisit 12 cailloux pour son deuxième essai, et obtient 2 collections de 6. "Peut-on faire des tas égaux plus petits ?". Lou divise ses paquets et parvient à 4 collections de 3. On ne peut pas aller plus loin : "3 est un nombre premier !".


Arrive un essai avec 7 : "2 tas de 3 reste 1". "Ah, dis-je, mais dans ce cas, les tas ne sont pas égaux puisqu'il reste un tas de 1 tout seul." "Alors, conclut Lou, 7 est déjà un nombre premier". 😊

Et les essais se répètent avec des chiffres de plus en plus grands... 😊

Note d'Elsa : On pourrait d'ailleurs lancer ce défi à l'enfant : "Peux-tu faire la liste de tous les nombres premiers inférieurs à 100 ?" J'ai ici un petit mordu de systématicité à qui cela plairait bien, je crois... 😉

Les nombres relatifs : 

"Nous nous sommes intéressés de près au thermomètre lors des températures caniculaires de l'été dernier, et nous nous sommes posés la question de savoir ce que représentaient les températures."

Notes d'Elsa : Maïa ne nous dit pas comment elle a aidé son enfant à remplir de sens cette notion de "température", mais on peut, par exemple :
- partir des cartes classiques des prévisions météorologiques, et  s'interroger : que signifie les nombres affichés ? Où fera-t-il le plus chaud, le plus froid ? etc. 
- fabriquer une petite station météo adaptée à l'âge et aux intérêts de l'enfant.
- organiser un petit relevé des températures sur plusieurs jours afin de pouvoir les comparer.

"Lou pensait que quand il ferait 10°C, il gèlerait. Je me suis alors lancé dans des explications sur le fameux 0°C (point de fusion de l'eau) et les températures négatives, qui ont provoqué un grand silence. "Qu'est-ce que ça peut être, moins que 0 ?". Nous avons à nouveau observé le thermomètre, puis crée cette petite mise en situation :


Avec une craie, sur un dallage, nous avons écrit la suite des nombres de 3 à - 3, à la verticale. Nous lancions ensuite un dé numéroté 3 à - 3 (extrait du Jeu de l'arbre de Goula, bien qu'il soit tout à fait possible de transformer un cube lambda !). Le jeu consistait à se déplacer ensuite sur cette frise numérique selon le résultat obtenu."

Note d'Elsa : Cela me rappelle avec émotion la manière dont Antonin a construit la notion d'entiers relatifs (il y a bien un an et demi déjà). "Maman, me demande-t-il un beau matin, qu'est-ce que qui est plus petit que zéro ?" " Moins 1, par exemple", répondis-je, en ne sachant pas trop où cela nous mènerait. "Ah, reprit le Damoiseau après quelques minutes de silence, alors (- 2) est plus petit que (- 1)..." 😯 Visiblement, c'était tout naturel, et depuis cette remarque, les entiers relatifs négatifs font partie de notre quotidien... 😊

D'autre part,  dans leurs commentaires à cet article, Maïa et Aurélie B élaborent une méthode pour manipuler les règles opératoires des entiers relatifs avec le boulier. Il me semble pertinent d'introduire leur réflexion commune ici. 😊

Encore une fois, si vous avez besoin d'un cours de rattrapage (ou d'apprentissage) sur le boulier, cette vidéo des Petits Homeschoolers vous donnera de bonnes bases...

"Sur de petites quantités, écrit Maïa, Lou calcule de tête (Il fait 2°C aujourd'hui ; quelle température fera-t-il demain s'il fait 3°C de moins ?) mais bloque quand les nombres à manipuler sont plus grands. J'ai alors séparé le boulier en deux, en attachant un morceau de tissu après les 4 premières dizaines (choix arbitraire, mais puisque les dizaines sur notre boulier sont de la même couleur deux à deux, j'ai trouvé cela plus pertinent, plutôt que de couper après la 5e dizaine). 

Voici le boulier au point 0 :

0

Placé ainsi, avec la cordelette qui sépare les dizaines positives des négatives, je place des dizaines positives à gauche comme d'habitude mais les dizaines négatives à l'opposé sur la droite. Mon boulier ne va donc plus de 0 à 100, mais de - 40 à 60.


Ainsi, quand je veux soustraire 6 de 4, je pousse donc d'abord 4 perles sur la droite :

4 - 6 = ?

4

Puis je soustrais 6 :  je les repousse mes quatre premières perles positives vers la gauche (1, 2, 3, 4...), et, n'ayant plus de perles positive disponibles sur cette ligne, je continue sur la ligne du dessus : ... 5, 6. Dans un mouvement qui va toujours vers la gauche, je pousse 2 perles négatives. Le résultat est donc égal à - 2 :

4 - 6 = ( - 2)

(- 7) + 10 = ?

Je peux également partir d'un nombre négatif, ici (- 7) :


Auquel j'ajoute 10. Je fais donc le mouvement habituel de l'addition en poussant mes sept perles vers la droite. Puis sur la ligne de la première dizaine positive, je complète en poussant 3 perles de plus vers la droite.

( - 7 ) + 10 = 3


( - 5 ) + (- 17) = ?

( - 5)

( - 5) - 17 = ( - 22)

Le mouvement se fait donc toujours dans le même sens, qu'il s'agisse d'une addition ou d'une soustraction. Il me parait également intéressant de positionner ainsi les dizaines négatives car cela marque bien ainsi, spatialement, que ( - 2 ) est l'opposé de 2. Si on est amené à expliciter verbalement à l'enfant que l'on positionne les dizaines négatives à droite, il faut d'ailleurs surtout bien penser à utiliser ce terme d'opposé (et à ne pas le confondre avec celui d'inverse !!).

Je ne sais pas vous, mais tout cela m'amuse beaucoup ! 😊 Et je suis pantoise devant tant d'ingéniosité... C'est beau, la bosse des maths... 😊

A bientôt pour le dernier volet, consacré à la géométrie et les systèmes non décimaux ! 😊

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